MATHEMATICAL MODELING OF BIOLOGICAL INTERACTIONS: FORMALISMS AND CONTEMPORARY APPLICATIONS
MODELACIÓN MATEMÁTICA DE LAS INTERACCIONES BIOLÓGICAS: FORMALISMOS Y APLICACIONES CONTEMPORÁNEAS
Luis Rojas1, Juan Castillo2, José García1 (1) Doctorado en Industria Inteligente, Facultad de Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Valparaíso 2362804, Chile; (2) Universidad de La Serena, Facultad de Ciencias, Departamento de Biología, La Serena 1720169, Chile.
Abstract
This paper introduces an advanced mathematical framework for describing biological interactions through spectral graph theory. We examine differential equations coupled with various Laplacians (classical, signless, and normalized) to address competition, predation, and evolutionary cooperation. We cover stability analyses, bifurcations, and computational validation using empirical data. Network topological properties, including connectivity and modularity, significantly influence ecosystem robustness and the spread of epidemic phenomena. Our results illustrate the effectiveness of combining graph theory and differential equations for modeling large ecological and genomic networks at scale. Moreover, future perspectives are discussed, highlighting the integration of spectral preconditioners and deep learning. This approach provides a solid foundation for research in mathematical biology and the management of natural resources.
Resumen
Este artículo presenta un marco matemático avanzado para describir las interacciones biológicas mediante teoría espectral de grafos. Se revisan ecuaciones diferenciales acopladas con matrices Laplacianas (clásica, signless y normalizada), resaltando su capacidad para modelar competencia, depredación y cooperaciones evolutivas. Se incluyen análisis de estabilidad, bifurcaciones y validación computacional con datos empíricos. Las propiedades topológicas de la red, como la conectividad y la modularidad, muestran una incidencia determinante en la robustez del ecosistema y en la propagación de fenómenos epidémicos. Los resultados evidencian la utilidad de combinar teoría de grafos y ecuaciones diferenciales para obtener modelos escalables, aplicables a grandes redes ecológicas y genómicas. Asimismo, se discuten perspectivas futuras, subrayando la integración de precondicionadores espectrales y el uso de aprendizaje profundo. Este enfoque constituye una base sólida para la investigación en biología matemática y la gestión de recursos naturales.
Keywords: spectral theory, Laplacian graphs, mathematical biology, ecological interactions Palabras clave: teoría espectral, grafo Laplaciano, biología matemática, interacciones ecológicas